Harmonic Analysis
Analysis on Unit Circle
设
其中展开系数为
现在任给
于是自然地
以上式中的最后一项作为
因为
首先我们来考察一下Fourier级数的部分和性质。注意到
其中
称为Dirichlet核,于是
此处的卷积定义为
- Young不等式:
; - 如果
共轭, 且 ,则通过改变一个零测集上的值, 可以被连续化到 中; - 任意
都有 。
更一般地,给定
可以验证
进而
另外,Dirichlet核
- 单位性:
; - 有界性:存在常数
使得 ; - 增长速度:存在常数
使得 。
从上面的性质其实可以看出,
Partial Sum of Fourier Series
Proof. 根据定义
注意到
因此将上式与原本定义合起来就有
当
一般地,当
所以
根据之前的分析可知当
Proof. 设当
注意到
可以验证其中的
于是
根据Riemann-Lebesgue引理可知
Proof. 由于
现在我们将积分区间拆成
又因为当
所以
另一方面,与Riemann局部化定理中的证明类似,构造
再次使用Riemann-Lebesgue引理可知
综上可知
Proof. 因为任意有界变差函数都可以被分解成两个单调函数,因此不妨假设
因此只需证明对于任意单调函数
下面要求
于是
再次将其中的第二部分重写为
可以验证
为了处理第一项,需要使用第二积分中值定理:存在
上的第二积分中值定理:
设与 是 上的两个实值函数,要求 是单调的右连续函数, 是连续函数,则存在 使得
(因此Jordan检验的证明中的右连续性是必要的)
因为
不难说明第一项有限,即
第二项和第三项可以被进一步估计,于是
因此
证毕。
下面简要给出上面使用到的第二积分中值定理的一个证明:
Proof of the Second Mean Value Theorem for Integrals on
根据Newton-Leibniz公式可知
因为
其中
根据介值定理可知存在
证毕。
Approximant Identities
稍后将看到
定义
是
其中
称为Fejér核,它具有如下性质:
- 紧致形式:
- Fourier变换:
- 非负有界性:
Fejér核是一种特殊的单位逼近,现在给出单位逼近的定义:
单位逼近 (Approximate Identities) 如果函数族
- 归一性:对于任意
都有 一致有界性:- 消失性:任给
都有
则称
除了Fejér核,常见的单位逼近还有box核:
特别需要注意的是Dirichlet核
-
:如果 ,则 -
,其中 :如果 ,则
Proof. 首先证明第一条结论。因为
于是
其中关于第二项可以使用
下面证明第二条结论。由于
于是使用Young不等式可知
证毕。
注意到
三角多项式空间在
进一步地,对于任意
Bessel’s Inequality 任意
上述不等式取等当且仅当
Parseval Identity 任给
Proof. 证明依赖于一致有界原理:
Uniformly Bounded Principle
给定Banach空间, 是从 到 的一族有界线性算子,则以下两种情形有且仅有其一为真:
1.;
2.存在使得 。
现在考虑如下线性算子
因为
所以
于是
所以
证毕。
Proof. 首先说明必要性(
因此
进而根据一致有界原理可知
下面说明充分性(
证毕。
借助以上定理,可以绘制出如下表格,其中总结了
| False | True | False | |
首先考虑两个端点情形:
推论 如果
Proof. 根据上述定理,为了说明这一推论只需说明
而当
于是
中间情形中
Regularity of Fourier Series
Proof. 取de-la-Vallee-Poussin核
它满足以下性质:
对于任意 都成立;- 任给
都有 。
根据de-la-Vallee-Poussin核
再根据Young不等式可知
于是定理得证。
与Bernstein不等式相对应,如果
为了证明上述结论需要以下引理:
引理 如果
则存在
Proof of Inverse Bernstein’s Inequality. 为了使用上述引理,取
可以验证
根据卷积的性质:
现在Young不等式可知
证毕。
Proof. 由于
是一个周期为1的函数,且
注意到
又因为Fejér核是单位逼近,所以
于是
又注意到
因此
证毕。
借助上述定理,我们可以构造出一个不是某
推论 如果
不是一个Fourier级数,即不存在
该推论的证明只需注意到
因此如果上述级数是某个
然而又有
Smoothness and Fourier Coefficient Decay
一般地,函数的光滑性越好,它的Fourier系数的衰减越快:
- 如果
是Hölder连续的( ),则 - 如果
是绝对连续的,则 - 如果
是 次连续可微的,且 是绝对连续的,则 - 如果
是光滑的,则
Proof. (1) 的证明比较繁杂,这里略去。(2) 当
于是
进而根据Riemann-Lebesgue引理可知
(3) 当
于是
因此有
(4) 的证明完全类似于(3)。
解析函数 (Analytic function) 如果定义在
解析函数是光滑函数的一个特例,它的Fourier系数的衰减速度更快,可以达到指数衰减:
-
是解析函数当且仅当 光滑且存在 使得 -
是解析函数当且仅当存在 和 使得
更一般地,如果定义在
则称
根据以上定义和之前的定理,我们有以下几个包含关系:
; 时, ; 时, 。
Sobolev Spaces
这里仅考察一类最简单的Sobolev空间,即
其中的范数
Proof. 证明一共分为四步:
Step 1. 根据上一节的结论可知
Step 2. 引入二进制级数(Dyadic partial sum)
说明证明定理的结论只需验证以下不等式成立:
Step 3. 证明(
因此原本的
于是只需说明
一种构造
令
其中
Step 4. 对
所以有
因为其中的第一部分满足
第二部分则有
所以合起来就得到了
即
证毕。
Fourier coefficients of Borel measure
记
定义
上述变换具有以下性质:
- 如果
,则当 时, ; - (Young Inequality) 对于任意的
,都有如下不等式
其中 是 的全变差范数; - (Riesz’s Representation)
; - 令
是一族单位逼近,则对于 有
进而
即对于任意的 都有
特别地, 若收敛到 。
下述定理是调和分析的一大核心结论。
Proof. 首先考虑多项式的情形,因为
又因为
最后一个等式使用到了
上述定理的一个推论是如下唯一性命题:
Proof. 因为
因此
与上面的唯一性命题相对应的是下述存在性命题:
-
存在
使得 对于任意的 成立; -
任意的三角多项式
都有
Proof. (1)
(2)
证毕。
推论 级数
其中
Proof. (
从而根据一致有界原理可知
(
因此根据上一个定理可知
Higher dimensional case
定义
其中
与一维情形类似,定义部分和为
其中
命题 如下结论成立:
- 三角多项式空间在
内稠密; - (Parseval’s Identity) 对于任意
, ; - 如果
,则 的Fourier级数一致收敛到 ,并且该收敛与部分和的选取方式无关。
Proof. 首先考虑第一条结论。构造
其中
第二条结论是平凡的。
最后考察第三条结论。对于
对于任意的
其中
于是
注意到
Analysis on Euclidean Space
Schwarz Space
The Inversion Theorem and Plancherel Identity
Temperated Distributions
Poisson Summation Formula
Sobolev Spaces and Inequality
Littlewood-Palay Theory
选取
现在定义
令
可以验证
Littlewood-Palay Operator
从定义中可以看出,Littlewood-Palay算子的作用是在频域中提取出某一指定频率的在时域中的分量,相应地,
形式上利用
由此得到了
对于任意的 成立; 对于任意的 成立。
Proof. 因为Fourier变换是
关于第二条结论,回忆起如下等式
于是
由此得到
根据第一条结论可知
证毕。
Properties of Littlewood-Palay Operator
-
时,如果 ,则 -
时,如果 ,则
Proof. 因为
其中
对于任意的
现在给出与之前章节中相对应的Bernstein不等式,这些不等式在估计函数的下降速度时非常有用:
- 低频估计
- 单频估计
- 低频项:快速下降换取正则性
-
- 高频项:正则性换取快速下降
Proof. 只给出简单的证明思路:
- 根据定义
,记 ,于是 。使用Young不等式可知
其中
- 仿照第一条结论可得。
- 因为
,并且根据之前的定义 ,所以
于是根据Young不等式以及
这里的
- 使用与上一条类似的技巧可知
在使用与之前类似地使用Young不等式即可得到最终结论。
- 注意到
因为
证毕。
Some Applications
下面给出几个基于Littlewood-Palay理论的应用。
GN Inequality
Proof. 该不等式的证明是Littlewood-Palay理论的一个经典应用。首先借助Littlewood-Palay算子可以将
下面使用Bernstein不等式分别估计这两项。一方面,使用Bernstein不等式的第三条结论可知第一部分中的低频项的估计为
而对于高频项,使用Bernstein不等式的第五条结论可知
现在通过选取合适的
这样就得到了Gagliardo-Niremberg不等式。
Sobolev Inequality
下面给出之前的Sobolev不等式的简要证明:
Proof of Sobolev Inequality. 在正式证明之前,回忆Sobolev不等式的表述:
其中
有以下观察:如果令
首先不难证明
然而我们需要的是
上述结论的证明不像前者那样直接,需要使用到调和分析中的平方函数估计,这里限于篇幅不再详细展开。如果承认该不等式的正确性,那么有
而根据Bernstein不等式的第一条结论可知
所以
证毕。
The Hilbert Transform
Hilbert变换是一个经典的分析工具,尽管它与Littlewood-Palay理论的联系不是很紧密,这里还是给出关于Hilber变换的一些基本事实,它的定义如下:
其中“P.V.”表示以Cauchy主值方式积分,即
所以
因此可以使用卷积形式表示Hilbert变换:
下面不加证明地给出Hilbert变换的一些基本性质:
是一个线性算子,其中 ; ; 是自反的,即 ,其中 , ;- 与微分算子交换:
; - 与Fourier变换的关系:
。
Product Estimates
Proof. 当
接下来分别估计这两项。对于第一项可以直接分析得到
对于第二项,注意到
其中
进而就有
而对于第二部分,我们有
其中倒数第二行使用了Hölder不等式,进而
证毕。
Hardy’s Inequality
应用部分最后给出另一个“硬分析”风格的不等式:
Stationary and Nonstationary Phases Method
最后简单介绍一下相位方法,这是一个在分析学中非常重要的技术,它的基本思想是通过相位函数的性质来估计积分的大小。设
- Title: Harmonic Analysis
- Author: Gypsophila
- Created at : 2024-11-13 09:46:44
- Updated at : 2024-12-11 22:21:19
- Link: https://chenx.space/2024/11/13/HarmonicAnalysis/
- License: This work is licensed under CC BY-NC-SA 4.0.